4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

Đề thi tuyển sinh chuyên Khoa học tự nhiên-Đại Học quốc gia Hà Nội năm học 2017-2018

ta có: \(ab+bc+ca+abc=2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left(1+a\right)+\left(1+b\right)+\left(1+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}=1\)

đặt \(x=\frac{1}{1+a};y=\frac{1}{1+b};z=\frac{1}{1+c}\Rightarrow xy+yz+xz=1\)

ta có \(P=\frac{a+1}{\left(a+1\right)^2+1}+\frac{b+1}{\left(b+1\right)^2+1}+\frac{c+1}{\left(c+1\right)^2+1}\)

\(=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+1}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)

\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)

mà \(9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+z+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\ge6xyz\)(đúng vì theo BĐT Cosi)

\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\le\frac{9}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

(vì \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3\))

Vậy \(P_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}-1\)

Áp dụng bđt bu nhi a, ta có 

\(P^2\le3\left(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\right)\)

Áp dụng bđt cô si, ta có 

\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

tương tự với mấy cái kia =>\(P^2\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

mà với abc =1, thì bạn sẽ chứng minh được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

phân thức thứ 1 để nguyê, phân thức thứ 2 nhân với ab, phân thức thứ 3 nhân với b, rồi chỗ napf có abc thì thay abc=1

thì bạn sẽ chứng minh được cái kia=1 

=>\(P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)

dâu = xảy ra <=>a=b=c=1

Dễ thấy theo AM - GM :

\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+b\right)+\left(b^2+1\right)+2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab+2b+2}}\)

\(\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{3}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{3}\right);\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ca+a^2+1}+\frac{1}{3}\right)\)

Cộng lại ta sẽ có đpcm

Vì dễ thấy \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) với abc=1

Từ giả thiết:\(ab+bc+ca=3\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=9-2abc\left(a+b+c\right)\)

Ta có:\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\)\(=\frac{1}{\frac{2a^2+bc}{a}}+\frac{1}{\frac{2b^2+ca}{b}}+\frac{1}{\frac{2c^2+ab}{c}}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+\frac{bc}{a}+2b+\frac{ca}{b}+2c+\frac{ab}{c}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}\)

\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9-2abc\left(a+b+c\right)}{abc}}\)

\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9}{abc}-2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{9}{abc}}=abc\)

Dấu "=" xảy ra khi 

\(\frac{2a^2+bc}{a}=\frac{2b^2+ca}{b}=\frac{2c^2+ab}{c}=\frac{2a^2+bc-2b^2-ca}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)}{a-b}\)

\(=2\left(a+b\right)-c\).Tương tự ta có:\(2\left(a+b\right)-c=2\left(b+c\right)-a=2\left(c+a\right)-b\)

\(\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Tìm GTNN a: $F= 14(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^4\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

Ta lại có:

\(ab+bc+ca=\frac{1-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)

Làm tiếp.

KHTN -2017

Ta có : \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(ab+a+b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(=abc+ab+ac+a+bc+b+c+1\)

\(=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)

\(=\left(ab+bc+ca+abc\right)+\left(a+b+c\right)+1\)

Gỉa thiết tương đương với \(\left(ab+bc+ca+abc\right)+\left(a+b+c+1\right)=2+\left(a+b+c+1\right)\)

\(< =>\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\)

\(< =>\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{1}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{1}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)(x;y;z>0) Thì bài toán quy về :

Biết \(xy+yz+zx=1\)

Tìm Max của \(M=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)

Có \(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

Tương tự \(y^2+1=\left(y+x\right)\left(y+z\right);z^2+1=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

Suy ra \(M=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)

\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Ta có bổ đề quen thuộc sau : \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)(link chứng minh mình đặt ở cuối bài)

\(< =>\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\)(*)

Có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3< =>x+y+z\ge\sqrt{3}\)

Suy ra (*) tương đương \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\frac{8}{9}.\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{9}\)

Khi đó \(M\le\frac{2}{\frac{8\sqrt{3}}{9}}=\frac{2.9}{8\sqrt{3}}=\frac{18}{8\sqrt{3}}\)

p/s : cách chứng minh bổ đề trên đây ạ : https://olm.vn/hoi-dap/detail/89229441423.html

Đặt \(x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2\)

Suy ra    \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)

Ta có \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)